Математика покера для новичков

Тема в разделе "Математика покера", создана пользователем MrTwister, 23 июл 2013.

  1. MrTwister

    MrTwister Продвинутый

    0
    965
    +132 / -0
    Наверняка вы уже слышали о теории вероятностей и каскадах непонятных уравнений, которые заставляют трепетать студентов в институтах. К счастью, покер не требует от профессиональных игроков ни глубоких познаний в математике, ни тем более в теории вероятностей. На самом деле, покер имеет гораздо больше общего с теорией игр, однако обсуждение элементов теории игр в покере выходит за рамки этой статьи, и мы рассмотрим их позднее, в одной из наших следующих публикаций.

    Математика-для-новичков.jpg

    Комбинаторика

    Одной из основных тем в покерной математике является комбинаторика.
    Итак, колода для игры в покер состоит из 52 карт – 4 масти, по 13 карт в каждой, от двойки до туза.

    Всего в покере существуют 1326 различных комбинаций из двух карт, которые сдаются игрокам на префлопе.

    Что касается отдельных комбинаций, то:
    • Любая карманная пара может быть сдана шестью различными способами.
    • Одномастная непарная рука, например K:heart: Q:heart:четырьмя способами.
    • Разномастная непарная рука, такая как 9:diamond: T:club:двенадцатью способами.
    • Любая непарная рукашестнадцатью способами (четыре умножить на четыре)
    Таким образом, используя комбинаторику и свои знания об оппоненте можно с очень высокой точностью определить, например, как часто у него окажутся карманные пары, а как часто – рука вроде туза короля.

    После того как на стол выкладываются общие карты флопа, комбинаторика также поможет оценить количество сильных и слабых рук в диапазоне оппонентов. Действительно, у наших оппонентов тузов в диапазоне будет значительно меньше, чем мусорных рук, и эта информация сделает многие наши решения значительно проще. Приведем пример.

    На флопе лежат K:heart: 4:spade: 7:spade: , то есть имеется вероятность, что у вашего оппонента на руках флэш-дро с двумя пиковыми картами. У вас на руках A:heart: A:spade: и оппонент делает рейз в ответ на вашу ставку.

    Рейз как правило означает силу, или хорошее дро, например флэш-дро. Посчитаем количество возможных сильных рук в диапазоне оппонента:

    Несмотря на то, что многим начинающим игрокам хочется думать, что рейз на флопе всегда означает сет, в действительности же комбинаций сетов в диапазоне оппонента не так уж и много:
    7:heart:7:diamond:|7:club: 7:diamond:| 7:club:7:heart:
    4:heart:4:diamond:|4:club:4:diamond:| 4:club:4:heart:
    K:spade:K:diamond:|K:spade:K:club:|K:diamond:K:club:

    Если у него была карманная пара четверок, семерок или королей, то на флопе у него будет по три комбинации каждого из сетов. Итого – девять комбинаций.

    Предположим, что наш оппонент также может сделать рейз на этом флопе с руками вроде AK и KQ.

    На этой доске может быть всего 12 комбинаций KQ: четыре дамы остаются в колоде, и на доске выложен один из королей (поэтому: четыре умножить на три).

    В то же время возможны всего 6 комбинаций AK. В колоде остаются три короля, однако тузов всего два, поскольку мы держим в руках карманную пару тузов (поэтому: три умножить на два).

    Стоит отметить, что если бы у нас на руках были не тузы, а, например, 8:club: 7:heart: , то при подсчете комбинаций сета семерок, мы также бы учли тот факт, что в колоде осталось бы всего две семерки, что давало бы нашему оппоненту всего одну возможную комбинацию сета семерок.

    Кроме того, скажем, что наш оппонент мог принять наш рейз на префлопе с K7 и теперь у него две пары. Три короля умножаем на три оставшиеся семерки, получаем 9 комбинаций.

    Итак, мы получили, что в диапазоне оппонента может быть 18 комбинаций, которые бьют нас в данный момент и 18 комбинаций, которые бьем мы. Кроме того, как мы уже сказали, в диапазоне оппонента после его рейза могут присутствовать и флэш-дро, например, 8:spade: T:spade:. Очевидно, что существует лишь одна комбинация данной руки. Предположим также, что кроме этого флэш-дро, у него также может быть J:spade:T:spade:. Таким образом, мы можем прибавить ещё две комбинации к тем восемнадцати, которые мы бьем. Получается, что на самом деле, несмотря на то, что наш оппонент сделал рейз на флопе, мы окажемся впереди чаще, чем будем биты.

    Вероятности в покере

    В покере, как и в любой другой карточной игре, есть место статистике, однако в процессе игры большинство фактов и цифр окзываются совершенно бесполезными при принятии решений.

    Но всё же знание некоторых вероятностей в покере всё же поможет вам лучше ориентироваться за столом.

    Итак, вы решили посмотреть на флоп и приняли ставку соперника на префлопе.
    • Если у вас на руках находятся любые две непарные карты, то вероятность спарить любую из них составляет 29%
    • Две пары вы прикупите в 2% случаев
    • Трипс вам зайдет всего 1,4% раз
    Таким образом, с напарной рукой ваши шансы получить комбинацию на флопе «пара или лучше» составляют около 32%.
    • Если же у вас на руках находится любая пара, то сет на флопе вы получите лишь в 11,5 процентах случаев.
    • С одномастными картами, на флопе вам придет флэш менее чем один раз из ста, а флэш-дро вы получите примерно в 11% случаев.
    • С любыми коннекторами, вы прикупите стрит на флопе 1,3% процента раз, а стрит-дро – в 10% случаев. Стоит отметить, что чем больше расстояние между коннекторами, тем меньше вероятность получить стрит или стрит дро на флопе.
    Ауты

    Общаясь с другими игрокам, очень часто бы будете слышать такие выражения, как «сыграть по шансам» или «прибыльной колл» - в этой части статьи мы разберем, что же они на самом деле означают.

    В покере нередки ситуации, когда вы имеете основания полагать, что ваша комбинация в данный момент слабее комбинации соперника и нуждается в улучшении, чтобы иметь возможность выиграть банк, или же у вас рука-дро, то есть недостроенная комбинация, которой недостает одной или нескольких карт для того, чтобы стать готовой рукой.

    В любом из этих случаев, вы надеетесь на то, что на одной из следующих улиц придет определенная карта, которая, возможно, даст вам выигрышную комбинацию. Эта карта называется «Аут».

    Предположим, что у вас 8:spade: T:spade:, а на доске лежат 2:spade:9:heart: K:spade: . Оппонент случайно показывает вам свою руку. У него A:club: K:diamond: , топ пара, топ кикер. Сколько карт вам помогут выиграть у это комбинации? Вам нужен только флэш, а для него вашему дро не хватает одной карты. Таким образом, на терне и ривере нам помогут следующие карты: пиковые 3, 4, 5, 6, 7, 9, J, Q, A. Всего - 9 карт.

    К счастью, вам не придется каждый раз мысленно перебирать все ваши ауты на флэш дро – для этого достаточно знать основы покерной комбинаторики, которые мы рассмотрели выше.

    Итак, в колоде 13 пиковых карт, 2 из них на доске, 2 – у вас в руке, это значит, что неизвестных пиковых карт осталось всего 9.

    Рассмотрим другой пример. У вас K:spade:Q:heart: , на стол вышли Q:spade:6:heart: 5:diamond: и противник показывает своих карманных тузов. В этой ситуации у вас лишь пара дам, которая стоит младше руки оппонента. Комбинации, до которых вы можете улучшиться и побить его тузов это 2 пары или трипс. Посчитаем, сколько у нас аутов:
    K:diamond: K:heart: K:club: Q:diamond: Q:club:

    Три короля и две дамы. Это тоже легко запомнить, так как в колоде 4 короля, один у нас, остается 3, и 4 дамы, одна на доске и одна в руках.

    Стоит, правда, отметить, что существует понятие «грязные» ауты, т.е. те ауты, которые дают нам нашу желаемую комбинацию, но одновременно с этим дают оппоненту ещё более сильную.

    Вернемся к примеру с флэш дро на доске 2:heart: 9:spade:K:spade:. Предположим, что теперь у оппонента не топ пара, а сет королей. Подсчитаем наши ауты снова: пиковые 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, J, Q, A.

    На первый взгляд, всё верно, однако любая двойка или девятка, которые могут выйти на терне или ривере, дадут нашему оппоненту фулл хаус, а любой король усилит его до каре. В то время как ни девятка, ни король не являются нашими аутами на флэш дро, пиковую двойку мы всё же учли, поэтому нам следует исключить её из числа аутов, поскольку с её приходом на стол мы теряем все шансы на победу.

    Следовательно, в этой ситуации у нас не 9, а всего 8 аутов.

    Говоря о других комбинациях, например, если у нас двустороннее стрит дро с Q:club: T:diamond: на доске J:heart: 9:heart: 3:club: – у нас 8 аутов против тузов (4 короля и 4 восьмерки), однако против карманных королей у нас всего 6 аутов (2 короля уже находятся на руках нашего оппонента, поэтому у нас остается всего 4 восьмерки и последние 2 короля в колоде).

    Также важно не считать свои ауты дважды. К примеру, нам повезло и мы собрали действительно сильную комбинацию: флэш дро плюс гатшот с Q:spade:T:spade: на доске J:spade:8[​IMG]2:spade: . Сколько у нас аутов против красных тузов? Очевидно, гатшот нам дает 4 девятки, а флэш – 9 пиковых карт.

    То есть, у нас 13 аутов? Не совсем. Пиковая девятка, учитывается в обоих комбинациях, поэтому нам важно не учесть её повторно. Всего у нас 12 аутов.

    Шансы

    Шансы или оддсы (от английского odds) – это наши шансы улучшиться до желаемой комбинации.

    Наверняка, вы где-то читали, что для того, чтобы посчитать свои шансы на улучшение, надо взять оставшееся число карт в колоде, разделить на число ваших аутов и получить какое-то соотношение… Но этот подход сложно применять во время игры, поэтому мы предложим вам гораздо более простой метод

    Если в колоде 52 карты, то вероятность того, что на следующей улице выйдет ЛЮБАЯ карта составляет примерно 2%. Иными словами, наши ауты мы фактически расцениваем как те самые «любые карты», поскольку в колоде одна карта ничем не отличается от другой.

    Например, если у нас 9 аутов флэш дро и мы ставим все свои фишки в центр стола уже на флопе, то мы уже гарантированно посмотрим карты терна и ривера. Таким образом наши шансы улучшиться до ривера будут равны: 2%, умноженные на 2 (количество карт, которые мы увидим) и умноженные на 9 (количество наших аутов). Мы получим 36%. Естественно это примерная величина, и она может отличаться в большую или меньшую сторону примерно на 1-2%.

    В случае же если мы гарантированно увидим только ОДНУ следующую карту, например, когда мы делаем просто колл с нашим флэш дро на флопе, то наши шансы на улучшение равны: 2%, умноженные на 1 и умноженные на 9 – итого 18%.

    Шансы Банка

    Любые ставки в покере стоит рассматривать как инвестиции, которые вы делаете с учетом рисков и возможного выигрыша. Например, в банке находится 100$, у нас лишь флэш дро, но мы точно знаем, что у соперника на руках карманные тузы. Он ставит все свои фишки - ещё 100$, таким образом в банке 200$ и нам нужно доставить ещё 100$, чтобы посмотреть карты терна и ривера, имея шанс улучшиться до флэша 36%. Стоит ли делать колл?

    Для этого нужно рассчитать шансы банка или пот оддсы (от английского – pot odds). Фактически, шансы банка определяют сколько раз вам нужно выиграть, чтобы колл был прибыльным.

    Итак, если нам нужно сделать колл ста долларов в банк двести, то наши шансы банка равны:

    [​IMG]
    Размер текущего банка к размеру ставки оппонента, или два к одному.

    Иными словами, это соотношение означает, что если в одном из трех исходов раздачи (это число получается сложением правой и левой части соотношения) мы выиграем, а в двух проиграем, то колл не принесет нам ни прибыли, ни убытка. Если мы будем выигрывать чаще, то получим только прибыль, если реже – только убыток. Это легко проверить несложными математическими действиями.

    Но мы так и не ответили на вопрос: стоит ли нам сделать колл?

    Для того, чтобы ваши решения были прибыльным, необходимо, чтобы ваши ШАНСЫ НА ПОБЕДУ были лучше ваших ШАНСОВ БАНКА.

    Очень часто вы встретите соотношения шансов банка 1 к 3 или 1 к 7, однако подобные расчеты очень громоздки и не подходят для принятия решений за столом. Действительно, вы проведете как минимум двадцать секунд высчитывая свои шансы, в то время как на решение отведено всего девяносто.

    Гораздо легче рассчитывать свои шансы не в долях, а в процентах.

    Вы уже научились рассчитывать свои шансы на победу, но что делать с шансами банка?

    Всё просто - если мы получили соотношение шансов банка 2 к 1, то для нейтрального результата нам необходимо выиграть 1 раз из трех, поэтому нам следует разделить единицу на сумму левой и правой части отношения, чтобы получить процентное выражение наших шансов банка. В данном случае оно составляет 33%.

    Таким образом, с нашими 36% нам стоит незамедлительно сделать колл.

    Алгоритм быстрого расчета шансов банка очень прост, рассмотрим его на примере: игрок в позиции кат-офф открывает торговлю рейзом на префлопе, мы делаем колл с 6s7s в позиции дилера. На флопе выходят Jx 5s 2s, образуя с нашими картами флэш дро. На флопе банк составляет 48$, оппонент делает ставку размером 29$ и мы должны принять решение о продолжении борьбы за банк.
    1. Мы можем сделать колл 29$ в банк 77$. Мысленно округлим 29 до 30, а 77 до 75, и получим соотношение 75 к 30 или два с половиной к одному.
    2. Переведем наши шансы банка в проценты – для этого проведем следующую несложную операцию. Ближайшими целыми числами к трём с половиной являются 3 и 4, а результат деления единицы на них уже хорошо нам известен – это 33% и 25%. Поэтому частное от деления единицы на три с половиной будет находиться между тридцатью тремя и двадцатью пятью процентами. Иными словами, мы можем примерно оценить наши шансы банка в 30%. Стоит отметить, что решения, принимаемые за столом допускают подобные округления, однако при анализе рук в свободное от игры время необходимо использовать точные расчеты шансов банка.
    3. Мы установили, что нам требуется 30% на победу или более. У нас лишь 18% поймать наш флэш на следующей улице. Помните, что у нас будет 36% только если мы посмотрим и терн и ривер когда поставим все свои фишки в центр стола, или наш оппонент решит сделать чек на терне и мы сможем сделать ответный чек, тем самым посмотрев обе карты по цене колла на флопе.
    Получается, мы не должны делать колл?

    Не совсем. Помимо шансов банка существуют также потенциальные шансы банка (implied odds).

    Потенциальные шансы банка

    Потенциальные шансы банка (implied odds) – это шансы, которые учитывают не только текущий размер банка и ставок, но и также потенциальный размер банка, который мы МОЖЕМ выиграть, если нам зайдет наша комбинация и противник поставит, или примет нашу ставку.

    Иными словами, если в предыдущем примере, нам доподлинно известно, что наш оппонент поставит на терне ещё 65$, когда нам зайдет флэш, то фактически, мы делаем колл 29$ не для того, чтобы выиграть банк размером 77$, а банк в 142$.

    Рассчитаем наши потенциальные шансы банка (142$/29$ = 4,89 и 1 / (1 + 4, 89) = 0,169 ~ 17%) и получим, что в этой ситуации, нам необходимо иметь всего лишь 17% на улучшение, если мы сделаем колл на флопе и оппонент всегда поставит на терне.

    Теперь у нас есть шансы для колла. Но на самом ли деле это так? Как мы можем быть уверены, что все наши ауты чистые? Что если у противника флэш-дро старше? Тогда у нас всего 6 аутов на улучшение до пары, которая побьет его флэш-дро. В этом случае в игру вступают обратные потенциальные шансы банка.

    Обратные потенциальные шансы банка

    Обратные потенциальные шансы банка (от английского reverse implied odds) – это вероятность того, что даже когда мы соберем нашу комбинацию, у соперника может оказаться рука сильнее и мы проиграем ещё больше денег.

    Обратные потенциальные шансы банка напрямую влияют на математическое ожидание от любого действия и оценить их впрямую очень сложно - только в совокупности с другими руками и шансами, поэтому они всегда рассматриваются в уравнениях математического ожидания со многими переменными.

    Однако обратные потенциальные шансы банка всегда стоит учитывать при принятии решений за столом на интуитивном уровне: так, если у вашего оппонента возможна рука, которая имеет те же ауты, что у вас (например, старшее флэш дро), или же его возможная комбинация настолько сильна, что вам не поможет ни одна карта в колоде, вам стоит играть гораздо более консервативно и чаще сбрасывать свои карты в пас.

    Всегда трезво оценивайте свои шансы, учитывайте и худшие варианты развития событий.

    Эквити

    Эквити(от английского equity) – это та часть банка, которая принадлежит вашей руке или диапазону в отдельно взятой раздаче.

    Предположим, у вас на руках флэш дро и вы решаете сыграть на все свои фишки против топ пары соперника, то фактически вам принадлежат 36% банка. Это значит, что на бесконечно длинном промежутке времени, когда вы сотни тысяч раз окажетесь в точно такой же ситуации с точно такой же рукой, вы выиграете 36% раз. Иными словами, если общий банк составил 100$, то на длинной дистанции вам причитается из него 36$, а вашему оппоненту – 64$.

    Хорошо это или нет, всецело зависит от того, сколько вы уже вложили в банк. Именно об этом мы поговорим, когда будем рассматривать математическое ожидание в покере.

    Эквити можно рассматривать и просто как шансы на победу, или процент раз, который вы выиграете на дистанции.

    Стоит отметить, что в покере правильность всех решений определяется именно на «дистанции», то есть на достаточно длинных промежутках при повторяющихся действиях.

    Это исходит из того, что если вы выиграли один раз, когда у вас было 36% эквити, то значит, вы забрали «лишнюю» часть банка – действительно, вы получили все деньги, а не только «свои» 36%. Однако дистанция «отнимет» у вас этот перебор, или же наоборот, вернет ту часть выигрышей, которую вы недополучили ранее.

    Математическое ожидание

    Математическое ожидание (expected value, EV) – как мы уже отметили, в покере любое ваше решение может быть оценено только на достаточно длинных промежутках времени, поэтому прибыльность всех действий за столом определяется не по исходу конкретных раздач, а ожидаемым доходом, или, как его принято называть, математическим ожиданием.

    Математическое ожидание в покере фактически представляет собой разницу ваших возможных выигрышей и проигрышей с учетом соответствующих вероятностей.

    EV = вероятность выигрыша * сумма выигрыша + вероятность проигрыша * сумма проигрыша


    Очевидно, что если математическое ожидание больше нуля, то нам выгодно продолжать игру, поскольку мы ожидаем, что выиграем деньги, и наоборот, если математическое ожидание меньше нуля, нам стоит немедленно остановиться, поскольку в перспективе мы только проиграем деньги.

    Рассмотрим простейший пример. Вы решили сыграть с другом в монетку и ставите каждый раз 100$ на то, что выпадет орел. Поскольку сторон у монетки всего две, то вероятность вашего выигрыша составляет ровно 50%, и именно столько же раз вы ожидаете проиграть свои 100$.

    EV = 50% * 100$ + 50% * (-100$)

    Подставив все эти значения в формулу, мы получаем, что математическое ожидание нашей игры равно нулю. Иными словами, при равных ставках мы ожидаем, что играя в монетку мы ничего не выиграем и не проиграем.

    Это не означает, что проиграв один подброс мы ничего не отдадим нашему другу. Математическое ожидание показывает лишь сколько в среднем мы ожидаем у него выиграть каждый раз если будем играть бесконечно долго. Математическое ожидание всегда имеет дело с долгосрочными результатами, которые менее подвержены воздействию случайных событий, или же попросту удачи.

    Рассмотрим другой пример. Мы всё ещё ставим на орла, но теперь когда мы выигрываем наш друг платит нам 200$, а мы ему – лишь 100$. В этом случае наше математическое ожидание изменится следующим образом.

    EV = 50% * 200$ + 50% * (-100$)

    Теперь, мы ожидаем выиграть 50$ каждый раз, когда мы бросаем монетку. И хотя результатом каждого подброса всё ещё будет являться выигрыш нами двухсот долларов или проигрыш ста, в долгосрочной перспективе, например, через тысячу повторений, наш выигрыш в среднем должен составить 50$ за подброс или 50.000$.
    Каталог статей.png
     
    • Нравится Нравится x 1
    Последнее редактирование модератором: 13 ноя 2018
  2. LTD

    LTD

    0
    1
    +0 / -0
    Для того, чтобы ваши решения были прибыльным, необходимо, чтобы ваши ШАНСЫ НА ПОБЕДУ были лучше ваших ШАНСОВ БАНКА.
    скажите верно ли это предложение ? немного непонятно
     
  3. Padavan

    Padavan Продвинутый

    0
    635
    +55 / -0
    Превосходная статья для начинающих игроков - все по полочкам разложено!
     
  4. Гэмблер777

    Гэмблер777 Местный

    0
    391
    +52 / -0
    Да, для новичков самое то. От этой статьи можно дальше математику покера изучать.
     
  5. Alexs635

    Alexs635 Прохожу мимо

    0
    22
    +0 / -0
    Спасибо, великолепная статья - все просто и по делу.
     
  6. Голдберг

    Голдберг

    0
    9
    +0 / -0
    Плюсую, не встречал такого крутого материала.